1892年，Bumq求解了如图62所示的半无限体内的径向应力分布，他用的是数坐标而不是直角坐标。在表面没有切应力的边界条件下，径向应力的解为2fcos6o
TTR
从式)可以看出，当r趋近于0时，，将变为无穷大。显然这种情况是不可能存在的，因为此时表面材料将产生严重的屈服或失效。Hertz对此的解释是，一定会形成一个小的接触区域以取代点或线接触，载荷将分到z:整个接触面上，从而缓解了无穷大应力的状况。Ht在分析中提出了如下的假设:1)所有的变形都在弹性范围之内，没有超过材料的比例极限。2)载荷垂直于表面，忽略表面切应力的影响3)与受载物体的曲率半径相比，接触区域的尺寸很小4)与接触区域的尺す相比，接触区域的曲率半径很大。X弹性理论问题的解是以假设的应力函数为基础的这些应力函数必须单独或是组合地满图6.2 Boussinesq分析模型足相容方程和边界条件。对于半无限弹性体的应力分布， Hertz采用的假设是
Y=
Y=
(6.17)
Zs
式中b是任意固定长度，X，y和Z是量纲为1的参数。设:
au av
r ax
o au
(618)
Z
we au,a
式中c是任意长度，以使e、v/c和w/e量纲为1。U和V是X和y的任意函数，但要满足
U=0
6.19)
y=0
和c与U的关系为
(6.20)
be
这些假设部分来自直觉，部分来自经验，将它们与弹性关系相结合(式(6.7)、式(610)和
az
式(612)至式(6.14)，得
a v ou
az
ava2Uっ
Z
az

z:
o
Z
a
z az
av au
aray arar
(6.21
av
Z
axa
ayaz
式中
(-2C)/b;U=(1-2)WU(X,Y,)
从以上的公式，可以确定以x平面为界面的半无限体内的应力和变形，在:＝0的界面上应
满足r
=T,
0，而o，为有限值
Hetz最后假定变形后的表面形状是一个旋转椭圆面，此时函数V可表示为:
y Z
V s
+S1+
(6.2)
式中，S。是下面方程最大的正根
x2+S1+S2s8
(6.23)
而
(6.24)
这里a和b是接触区域投影椭圆的长半轴和短半轴。
对于椭圆接触区域，其几何中心的应力为
30
O
mab
(6.25
任意长度c被定义为
30
C
6.26)
对于x＝的特殊情况
20
0
T
(6
C
오
G
(628)
由于假定接触面相对于物体的尺す来说是很小的，则接触体之间的距离可以表示为
式中，，和r，是主曲率半径。
2r.2r