1892年， Boussinesq求解了如图6.2所示的半无限体内的径向应力分布，他用的是极坐标而不是直角坐标。在表面没有切应力的边界条件下，径向应力的解为
2fcos0r
Tr
从式(6.16)可以看出，当r趋近于0时，O，将变为无穷大。显然这种情况是不可能存在的，因为此时表面材料将产生严重的屈服或失效。Hrx对此的解释是，一定会形成一个小的接触区域以取代点或线接触，载荷将分到整个接触面上，从面缓解了无穷大应力的状况。Hea在分析中提出了如下的假设1)所有的变形都在弹性范围之内，没有超过材料的比例极限。2)载荷垂直于表面，忽略表面切应力的影啊3)与受载物体的曲率半径相比，接触区域的尺す很小4)与接触区域的尺す相比，接触区域的曲率半径很大弹性理论问题的解是以假设的应力函数为基础的，这些应力函数必须单独或是组合地满图6.2 Boussinesq分析模型足相容方程和边界条件。对于半无限弹性体的应力分布， Hert采用的假设是
Ya
h
Ya
(6.17)
式中b是任意固定长度，X，Y和Z是量網为1的参数。设:
u al al
ax ax
p ol al
(6,18)
ay a
w al ob
7+1
式中c是任意长度，以使/e、w/e和/e量为1。和V是X和Y的任意函数，但要满足
VU=0
V V=0
(6.19)
b和c与D的关系为
a U
(6.20)
C
az
这些假设部分来自直觉，部分来自经验，将它们与弹性关系相结合(式(6.7)、式(6.10)和
式(612)至式(6，14)，得
o.av ou s av
az
L sz
y ar az